Есть ли такие позиции в которых,

Белые пропускают ход черные выигрывают.
Белые ходят.
Черные пропускают ход, белые выигрывают.
Черные ходят.

Ну и так далее, по возможности долго.
(?)

а вам это сильно надо знать?

Да, это важный момент для игры.
Если пас можно сделать, то это выигрыш для бесконечной доски.

а на землю опуститься?! Где вы ожидаете увидеть бесконечную доску? никак с марсианами готовитесь играть.

Не надо слушать Анатолия. Позиции такие есть. Идея, например, такая: у белых стоит пауза на фланге (возможность поставить вилку 3-3, скажем), а черные разыгрывают форсированный вариант, который не дает выигрыша, но позволяет уравнять позицию. В рэндзю навскидку есть один форсированный вариант в несколько десятков ходов. В случае пропуска любого хода черными белые сразу выигрывают на фланге; в случае пропуска любого хода белыми черные выигрывают, ставя открытую четверку или расставляя выигрыш на четверках.

Вопрос о том, можно ли придумать на бесконечной доске позицию, в которой это можно делать бесконечное время, является открытым (и вряд ли над ним кто-то всерьез думал).

В рэндзю есть более тонкий вопрос. Как известно, есть возможность пропуска хода. Возможна ли позиция, когда черные, пропуская ход, обеспечат себе ничью, в то время как любая выставленный ими камень приводит их к поражению?
Возможна ли позиция, в которой белые, пропуская ход, обеспечат себе ничью, в то время как любой выставленный ими камень приводит их к поражению?
Для решения обеих задач разрешается использовать доску размером, отличным от канонического (но не бесконечную).
Если мне не изменяет память, автором первой части задачи является Юра Таранников, второй - Витя Балабай.

Сразу чувствуется родственная душа ).

1) Это вопрос как мне кажется из теории фракталов. И наверно математики могут дать на него ответ.
Вариант реализации: белые или черные в любой момент игры пасуют, и если противоположная сторона не выигрывает, то выиграли те, кто первый спасовал.
(можно выходит и без бесконечных досок обойтись!)

2) Сходу решение. Все поля кроме одного заняты. Если черные туда ходят фол, а если пас, то могут сходить белые без выигрыша.

3) Тут мне не хватает понимания теории фола. Скажем два свободных поля, белые ходя на любое из них разрушают фоловую конструкцию и черные выигрывают. Других вариантов нет. Возможно ли ходом белых нарушить фоловую конструкцию?

Математиков хватает, но эта задача к фракталам не сводится, такая уж игра. Есть, впрочем, одно построение (но в рэндзю, не в гомоку), которое, кажется, могло бы быть бесконечным, это так называемая лестница, но и там черные, меняя паттерн, выигрывают.

Что же касается варианта "выиграл тот, кто первый спасовал", то он не нов. Наиболее изящно это использует так называемое правило Накамуры: в случае ничьи тому, кто первый спасовал, дается 2/3 очка, а его оппоненту - 1/3. Тем не менее, в сообществе такой вариант не прижился: не очень понятно, чем плох ничейный результат, констатирующий равенство сил (или недостаточный перевес одной стороны над другой).

Про фолы. С черными неверно: при ходе черных в запрещенный пункт белые выигрывают лишь в том случае, если они могут поставить пятерку. Попробуйте найти нетривиальную позицию (где свободных пунктов хотя бы три), где ход черных приводит к поражению, а пас - к ничье.

С белыми - это очень понятно звучит, но вы попробуйте сконструировать такую позицию, и вы вспомните, что слова "решим это дифференциальное уравнение" могут содержать под собой тридцать листов выкладок (и, возможно, неверных, т.к. диффур в элементарных функциях не разрешается вообще).